#matematyka

Dawno nie było nic pod tagiem #nutriamatematyczna

No to szybkie i przyjemne zadanko na rozprostowanie zwojów mózgowych.

Na obrazku jest waga. Na każdej szali postawiono odważnik. Na lewej jest to odważnik ważący 2 kilogramy a na prawej odważnik ważący 7 kilogramów.

Po dodaniu czerwonych kulek szale wyrównały się. Każda z kulek położonych na szali waży tyle samo. Kulka koloru magenta waży dwukrotnie tyle ile kulka czerwona.

Pytanie: ile waży kulka przedstawiona na dole obrazka?

#matematyka

Orbity keplerowskie są przekrojami stożka (a w przypadkach zamkniętych oczywiście elipsami)

Dałem #heheszki i z obrazka chyba widać czemu :grinning:

Ale poza beką, to dosyć ciekawa i nieco głębsza historia z dodatkowymi ciekawostkami. Tutaj jest nieco szczegółowiej: https://math.ucr.edu/home/baez/gravitational.html .
Keplerowskie orbity zamknięte są sekcjami stożka z powodu prawa odwróconego kwadratu. Ale co mniej oczywiste, orbity takie mają symetrię SO(4) - czyli cztero, a nie trójwymiarową. A wynika to z tego, że prawo odwróconego kwadratu ma więcej symetrii, niż przestrzeń, w której się je stosuje. Sama grupa ma de facto 6 stopni swoboody, symetrii (można rzec, że wymiarów), ale jest opisywalna w 4 wymiarach, bo dodaje jedynie wektor pędu. Wiem, że nie chcialiście tego wiedzieć, ale nie dałem Wam wyboru 😁

https://xkcd.com/3189/

#okazjonalnexkcd #matematyka #fizyka #nauka #ciekawostki #heheszki

Zażywasz przegrywasz

#matematyka

Matematyka szyszki :evergreen_tree: Szyszki są często przytaczane jako przykłady występowania liczb Fibonacciego w świecie przyrody - dla przypomnienia, ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Z ciągiem Fibonacciego jest też ściśle związany tak zwany złoty podział lub złota proporcja.

Ułożenie łusek w szyszkach tworzy spiralne linie, zarówno lewoskrętne, jak i prawoskrętne. Dla przykładu, na szyszce świerkowej można wyróżnić 8 linii lewoskrętnych i 13 prawoskrętnych, na modrzewiowej - 5 lewoskrętnych i 3 prawoskrętne, na sosnowej - 5 lewoskrętnych i 8 prawoskrętnych. Szyszki nawet z tego samego gatunku drzewa miewają niekiedy różną liczbę spiral, ale w większości szyszek liczba spiral lewo- i prawoskrętnych odpowiada dwóm kolejnym liczbom z ciągu Fibonacciego.

Podobną zależność można zaobserwować m. in. w układzie ziaren na tarczy słonecznika, w owocu ananasa, kwiecie karczocha, a nawet w układzie liści i gałązek na drzewach i innych roślinach.

Przyczyna powstawania takich wzorców w świecie roślin jest dość prosta. Gdy podczas wzrostu roślina wytwarza nowe części, wyrastają one w miejscu, w którym mają przestrzeń do wzrostu - czyli pod pewnym kątem w stosunku do części, która wyrosła przed nimi wcześniej. Po „wybraniu” tego kąta zazwyczaj pozostaje on już niezmieniony. Jeśli roślina ma spiralny wzorzec wzrostu, a jej części są ustawione pod kątem około 137,5° (tak zwany złoty kąt), liczba spiral odpowiada liczbom z ciągu Fibonacciego.

A dlaczego rośliny tak bardzo "lubią" wytwarzać nasiona, liście czy płatki w tego rodzaju układach spiralnych? Umożliwia im to optymalne ich rozmieszczenie - w takich układach rośliny maksymalizują przestrzeń i minimalizują nakładanie się części. Dzięki temu każda kolejna część rośliny otrzymuje maksymalną dostępną ilość światła i miejsca. Taka optymalizacja wzrostu daje roślinie przewagę rozwojową.

#ciekawostki #przyroda #natura #rosliny #drzewa #szyszki #matematyka

tag serii: #7ciekawostekprzyrodniczych

Ile jest sekund w 6 tygodniach?

Dokładnie 10!

#doslownememy #matematyka #heheszki #nieheheszki #memy

#matematyka jakie było prawdopodobieństwo, ze z garści wysypia się tylko białe xD

Pizza wydaje się być jednym wielkim paradoksem. Trzymasz trójkąt.\ Który wyciągnąłeś z koła.\ Które przyjechało do ciebie w kwadracie. To nie jest przypadek. To nie jest „bo tak się robi”.\ To nie jest nawet włoski chaos. To jest największa, najbardziej niedoceniona zagadka

#matematyka #heheszkinauka &źródło

Wyobraź sobie, że ten wpis nigdy by się nie skończył.\ Czytałbyś go wiecznie - bez ostatniego zdania, bez kropki, bez ulgi.\ Tak właśnie wygląda lęk przed nieskończonością. I tak działa nasz mózg, kiedy próbuje ogarnąć coś, czego ogarnąć się nie da. Albo jeszcze inaczej

W głowie otworzyła mi się szufladka "kiedyś oglądałem taki filmik...", i po godzinie grzebania mam!

System dwunastkowy, ciekawa alternatywa liczenia, z większą praktycznością w życiu codziennym, ale raczej niemożliwa do wprowadzenia.

A ok 8:20 jest praktyczny sposób liczenia na palcach jednej ręki do 12, polecam w opór.

https://youtu.be/U6xJfP7-HCc

#gruparatowaniapoziomu ? #liczby #matematyka #ciekawostki

Pamiętacie teleturniej Idź na całość?

Gra polegała na podejmowaniu decyzji związanych z ryzykiem.

Trzy bramki do wyboru - jedna z nagrodą główną i dwie które można zdecydowanie uznać za przegrane (odkurzacz zelmer vs Polonez CARO XD).

Teleturniej prowadzony przez Zygmunta Chajzera wzorowany był na amerykańskim formacie Let’s make a deal prowadzonym przez Monty’ego Halla - od którego nazwę wziął jeden z ciekawszych paradoksów rachunku prawdopodobieństwa Paradoks Monty’ego Halla.

*

Brzmi nudno, ale to paradoks który potrafi rozgrzać rozmowę do czerwoności XD

Sami przeczytajcie symulację:

> Grasz w idź na całość

> Bramki są trzy - tylko jedna zawiera nagrodę która cię interesuje.

> Panie anonie która bramka

> Ręce spocone - wybierasz bramkę i liczysz że to ta jedna jedyna z Polonezem.

> Prowadzący podgrzewa atmosferę - mówi sprawdzam i odsłania _inną_ bramkę której nie wybrałeś

> Zonk.jpg - ale fart XD bramka jest pusta

> Zygmunt pyta - czy chcesz teraz zmienić swój wybór? Zastanów się! Odkurzacz czy upragniony polonez? Czy wybrałeś dobrze?


No i teraz crème de la crème tego paradoksu - _TAK ZMIENIASZ BRAMKĘ by zwiększyć szanse na wygraną_ - rada płynąca z rozwiązania tego paradoksu brzmi: Zawsze zmieniaj! Zamiana drzwi zwiększa szansę wygranej z 1/3 do 2/3.

*

Zazwyczaj reakcją jest kłótnia, niedowierzanie - przecież na chłopski rozum sytuacja się nie zmienia - no ale nie.

*

Paradoks rozwiązała kobieta. Ciekawa postać - Marilyn vos Savant - osoba z najwyższym zmierzonym IQ która w latach 90. prowadziła rubrykę w gazecie nazwaną: Ask Marilyn.

Po rozwiązaniu paradoksu wielu czytelników wyśmiało jej odpowiedź, dostała wiadomości typu:

„Źle zrozumiałaś prawdopodobieństwo”.

„To największa wpadka, jaką kiedykolwiek widziałem!”

„Być może kobiety nie rozumieją matematyki tak jak mężczyźni”.

Jenak miała rację. Od czasu publikacji artykułu paradoks już wielokrotnie był brany na warsztat i za każdym razem potwierdza się rozwiązanie mówiące że zmiana jest lepsza.

*

Polecam zarzucić temat w towarzystwie XD dobry na świąteczne dyskusje przy stole :grinning: Przydaje się też w życiu - za każdym razem gdy podejmujemy decyzję na zmniejszającym się zbiorze warto ponownie zastanowić się nad podjętym wyborem.

Dla nieprzekonanych: https://www.youtube.com/watch?v=lO5TzQrDwaE oraz https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Monty%E2%80%99ego_Halla

#ciekawostki #matematyka #prawdopodobienstwo

Jak dodajecie 6+7 w pamięci?

#matematyka #gownowpis

Bo ja: 7+3=10 +3=13

Ale okazuje się że różni ludzie różnie to robią...

Twierdzenie van Citterta–Zernikego o koherencji przestrzennej promieniowania, w przyosiowym przybliżeniu falowym, w którym funkcja wzajemnej koherencji jest transformatą Fouriera rozkładu źródła.

Czy jak kto woli:

Twierdzenie van Citterta–Zernikego o koherencji przestrzennej promieniowania w furierowskim przybliżeniu transmitancji próżni przyosiowej.

Twierdzenie dzięki któremu funkcjonuje Teleskop Horyzontu Zdarzeń, którego zadaniem jest obserwacja przestrzeni kosmicznej znajdującej się w bezpośredniej bliskości czarnej dziury z rozdzielczością kątową porównywalną do rozmiarów horyzontu zdarzeń czarnej dziury.

Albo prościej: wykorzystywanie wiele teleskopów rozsianych na całej planecie "jednocześnie", aby zdolność obserwacyjna takiego tworu zaczynała dorównywać pojedynczemu teleskopowi wielkości całej ziemi.

Pierwszy obrazek, teleskopy programu "Teleskop Horyzontu Zdarzeń".

Drugi obrazek, "zdjęcie" czarnej dziury M87 wykonane w zakresie fal radiowych, przekształcone do zakresu optycznego.

#nauka #fizyka #astronomia #astrofizyka #matematyka

#matematyka #geometria #ciekawostki &źródło

Planimetr – przyrząd mechaniczny lub elektroniczny do wyznaczania pola powierzchni figur płaskich.

https://en.wikipedia.org/wiki/Planimeter - en - historia planimetra

Istnieje kilka rodzajów planimetrów, ale wszystkie działają w podobny sposób. Dokładna konstrukcja różni się w zależności od typu, a główne rodzaje mechanicznych planimetrów to planimetry biegunowe, liniowe oraz planimetry Prytza, zwane też „siekierkowymi”. Szwajcarski matematyk Jakob Amsler-Laffon zbudował pierwszy nowoczesny planimetr w 1854 roku, a koncepcję zapoczątkował Johann Martin Hermann w 1818 roku. Po słynnym planimetrze Amslera pojawiło się wiele kolejnych rozwiązań, w tym wersje elektroniczne.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Planimetr - pl - propaganda dla Polaków

Za pierwszy uchodzi przyrząd J.M. Hermanna (1814), który jednak wkrótce przewyższony został wynalazkiem polskiego kartografa Juliusza Kolberga, opisanym 1820 w czasopiśmie Sylwan: „Opisanie składu i użycia planimetru nowo wynalezionego mierniczego narzędzia do dochodzenia powierzchni płaskich” (Feliks Kucharzewski 1902)[1].

#heheszkinauka #trolleyproblem #matematyka

Sprawdzamy z córką wyniki testu kompetencji (córka 4 klasa):

Ja: Dostałaś 86%
Córa: A na ile?

(╯ ͠° ͟ʖ ͡°)╯┻━┻

#rodzicielstwo #dzieci #matematyka

#matematyka #geometria &źródło

#matematyka #geometria &źródło

Niedawno na Hejto prowadziliśmy sobie kulturalną dyskusję na temat klucza odpowiedzi, nauczania pod oczekiwania i te sprawy, w kontekście bardzo wysokiego IQ Polaków w porównaniu z innymi krajami Europy. Poniżej znakomity przykład takiego nauczania typu "ma być tak jak w kluczu". Nauczyciel sam nie rozumie pytania a uczeń karany jest za kreatywne zrozumienie i dojście do rozwiązania poprzez racjonalizację. Marcin zjadł 4/6 swojej pizzy a Lubomir zjadł 5/6 swojej. Jak to możliwe, że Marcin zjadł więcej pizzy niż Lubomir? No kuźwa proste, jego picka była większa, to zjadł mniej kawałków ale za to większych. Niestety, to jest niemożliwe a pytanie było pułapką, pomyślał nauczyciel z d⁎⁎y wyjęty. #matematyka #nauka #ciekawostki

Hej,

w ramach jesiennych wyzwań dostałem zestaw:

* Namaluj dowolną techniką jesienny obraz

* Wybierz się dowolnym środkiem transportu do pobliskiego miasta, w którym dawno nie byłeś i pokaż go z najciekawszej strony

* Napisz list do samego siebie, który otworzysz za rok o tej porze

U mnie wybór padł na pierwszy punkt z małym twistem. Jako, że do duszy artystycznej mi daleko i byłoby to widać, to stwierdziłem, że podzielę się chociaż czymś ciekawym 😁

Na załączonych obrazkach widać obraz "namalowany" techniką kompresji a następnie dekompresji zdjęcia metodą SVD.

Górne zdjęcie jest oryginałem, dolne po cyklu kompresja -> dekompresja. Oryginalny rozmiar zdjęcia (gdyby zapisać je wprost, piksel po pikselu, z trzema wartościami R, G i B) to 12712.50 KiB, a rozmiar po kompresji to 4372.81 KiB, co stanowi 34.40% rozmiaru oryginalnego. Na następnych zdjęciach widać poszczególne kanały R, G i B oraz to w jaki sposób zostały skompresowane przez algorytm.

Metoda kompresji SVD jest de facto metodą kompresji macierzy a nie obrazu, z tego względu plik wejściowy należy wstępnie przetworzyć rozbijając go na 3 kolory składowe. Tak uzyskane trzy macierze możemy skompresować każdą z osobna, przeprowadzając jej rozkład zgodnie ze wzorem z ostatniego zdjęcia. Sam rozkład SVD jednak nie pomaga nam przy kompresji, ponieważ jest to matematycznie równość, a zamiast przechować NxM danych, mamy teraz MxM (macierz U) + MxN (macierz Σ) + NxN (macierz Vᵀ). Na szczęście jednak wartości na przekątnej macierzy Σ spadają na tyle szybko, że możemy obciąć wszystkie trzy macierze zachowując tylko r najważniejszych wierszy i/lub kolumn. Właśnie w tym momencie następuje stratna kompresja obrazu (nie jesteśmy potem w stanie idealnie odtworzyć tego co było na wejściu).

Algorytm, który wygenerował poniższe zdjęcia dodatkowo najpierw oblicza rozkład przy użyciu SVD, a następnie decyduje czy nie byłoby korzystne rozbicie macierzy rekurencyjnie na cztery mniejsze, co podnosi skuteczność kompresji w momencie gdy dana macierz jest jednolita w lokalnym obszarze (wtedy brak jest rozbicia na fragmenty i mamy mniej wartości do przechowania) lub zróżnicowana pod względem wartości (wtedy następuje rozbicie aby możliwe było dokładniejsze zachowanie cech obrazu). Sposób tego podziału jest widoczny na czarnobiałych diagramach. Pokazuje to rozkład i udział każdego z kolorów w końcowym obrazie.

W efekcie przechowujemy trzy drzewa dla każdego koloru, gdzie w liściach (pojedyncza komórka na czarnobiałym podziale) znajdziemy informację o tym który konkretnie fragment obrazu jest przechowywany w danym liściu oraz macierze U, Σ i Vᵀ służące do odtworzenia tego właśnie fragmentu. W celu dekompresji tak zachowanego obrazu wystarczy odpowiednio przemnożyć wartości U, Σ i Vᵀ aby dzięki temu otrzymać rekonstrukcję wartości wejściowych i zapisać je w odpowiednim fragmencie buforu.

Więcej o tym można poczytać tutaj. Z tej strony pochodzi też obrazek objaśniający kroki kompresji obrazu.

P.S.

Rykoszetem "wykonałem" również zadanie drugie, bo zdjęcie (choć nie moje, dlatego odznaczam tylko punkt pierwszy :P), przedstawia jesienny park zdrojowy w Busku-Zdroju, moją rodzinną okolicę :smiley:

#jesiennewyzwania #nauka #matematyka